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四元数矩阵与 so(3) 左右雅可比 疑问
博主你好。我在读文章的时候产生了一个疑惑。
求雅各比矩阵的时候你是针对扰动求的雅各比，可是我个人理解是如果求解非线性最小二乘问题，雅各比矩阵应该是针对我们想求解的状态的。即我觉得求导应该针对q而不是delta_alpha。
拿ceres里的例子来讲，比如它的field_of_experts.cc里Evaluate()函数中residual等于
residuals[0] += filter_[i] * parameters[i][0];
之后jacobian就等于
jacobians[i][0] = filter_[i];
这很明显残差求导的对象是参数paramter[i][0]。对应到你的博客中，残差error求导的对象应该是q，因为q是传入的parameter。
还请博主指正我的理解是否有误！谢谢！
你好，建议你读一下 g2o 的论文，会了解这个问题的理论本质。
「求解非线性最小二乘问题，雅各比矩阵应该是针对我们想求解的状态的」，这句话既对也不对。在图优化里，Jacobian 最终就应该是 w.r.t. 增量的。因为在求解Gauss-Newton系统 ( H dx = b) 时，待解量是增量。但是呢，Ceres 里没有这种直接求 w.r.t增量的 Jacobian 的途径（g2o 就有）；所以，实际你在 Ceres 实现图优化时，解析形式的 Jacobians 需要给两个：error w.r.t. State & State w.r.t. incremental， Ceres 在优化时会把这两个 Jacobians 乘起来（真是脱裤子放屁）。
关于 Ceres 这个问题请参考我的另一篇 blog：https://fzheng.me/2018/01/23/ba-demo-ceres/
你好 谢谢你的回复！ 我看了一下g2o的论文，它正好把我的疑惑的地方写出来了。 论文5式下面，写到: "J_ij s the Jacobian of eij(x)computed in x" 也就是说这里的Jacobian是相对于State的，即pose什么的。但是式21的Jacobian是相对于增量的。我能理解由于SO(3)群的原因我们不能直接对State求导了。但是问题是要解决的问题是同一个问题，无论怎么说，把本来该对x本身求导的Jacobian转换为对增量求导，能产生相同的结果吗？ 我可能换个说法更好一些，假如不考虑SO(3)的情况，遇到一个普通least square的问题，我们可以直接对想要求解的量x求Jacobian，这时候我不这么做，而去对增量求Jacobian，这样算法本身就改变了呀，根本就不是一个Jacobian，我还能得到我想要的收敛了的x_min吗？ 这里我把论文放在附件里您不用再去上网找了。 如果还有时间回复我万分感谢！
On Wed, Jun 12, 2019 at 10:53 PM ZHENG Fan [email protected] wrote:
你好，建议你读一下 g2o 的论文，会了解这个问题的理论本质。
「求解非线性最小二乘问题，雅各比矩阵应该是针对我们想求解的状态的」，这句话既对也不对。在图优化里，Jacobian 最终就应该是 w.r.t. 增量的。因为在求解Gauss-Newton系统是，待解量是增量。但是呢，Ceres 里没有这种直接求 w.r.t增量的 Jacobian 的途径（g2o 就有）；所以，实际你在 Ceres 实现图优化时，解析形式的 Jacobians 需要给两个：error w.r.t. State & State w.r.t. incremental， Ceres 在优化时会把这两个 Jacobians 乘起来（真是脱裤子放屁）。
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你想得很深入了，不过你说「遇到一个普通least square的问题，我们可以直接对想要求解的量x求Jacobian，这时候我不这么做，而去对增量求Jacobian，这样算法本身就改变了呀，根本就不是一个Jacobian」，其实你不妨想一想，在线性的情况下，对 x 和对 dx 求导真的不是一个 Jacobian 吗？
假如对 dx 求导，那就是 J = d e(x+dx) / d dx； 假如对 x 求导，那就是 J = d e(x) / d x； 其实是同一个哦。因为 d e(x) / dx = lim_{dx ->0} [ e(x+dx) - e(x) ] / dx
可以再想深一点。我前面说，在图优化里，Jacobian 最终就应该是 w.r.t. 增量的；因为求解Gauss-Newton系统 ( H dx = b) 时，待解量是增量。
优化问题是干什么呢？是为了找一个增量，这个增量使代价函数变小，也就是使 e(x) 变小。e(x) 对 dx 的Jacobian 又是什么呢？是 e(x) 随 dx 增加的变化率。让 dx 一直朝向使 e(x) 小的方向走，这就是图优化迭代的过程。所以说，Jacobian 最终就应该是 w.r.t. 增量的。
非常感谢，结合你的说明我自己再推导了一下，现在理解了！
On Sun, Jun 16, 2019 at 10:50 PM ZHENG Fan [email protected] wrote:
可以再想深一点。我前面说，在图优化里，Jacobian 最终就应该是 w.r.t. 增量的；因为求解Gauss-Newton系统 ( H dx = b) 时，待解量是增量。
优化问题是干什么呢？是为了找一个增量，这个增量使代价函数变小，也就是使 e(x) 变小。e(x) 对 dx 的Jacobian 又是什么呢？是 e(x) 随 dx 增加的变化率。让 dx 一直朝向使 e(x) 小的方向走，这就是图优化迭代的过程。所以说，Jacobian 最终就应该是 w.r.t. 增量的。
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