Claudy Forrest

直接用多元多项式环的商环来定义这玩意是不是有点为了严格化而严格化了，就好像多项式（幂级数）是数列，本质上是 $N$ 上的函数，这里是不是可以直接视作 $2^S$ 上的函数会更容易理解一些。至于初等函数变换，只要能够定义它作为环的意义上的加法和乘法运算，并证明取极限操作可行（或者本身有某种有限性），那么所有变换的性质都是可以从基本定义导出的。不能说因为它和商环同构就直接写成商环。这些商环的描述可能可以作为启发式的推理放到附注里，但是作为定义还是有点太过抽象了。

看了看相关的文献，觉得一个合理的结构应该是在 快速 Walsh 变换 后添加 快速 Mobius 变换，把属于多项式技术的部分剥离出去，然后另开一章节介绍 集合幂级数 的动机及其初等变换，并结合例子说明其组合意义。 集合幂级数 的初等变换很大程度上就是 多项式 的初等变换，两者都是基于幂零特性保证无穷求和有限性（因为 OI 中的多项式运算通常要模 $x^n$）的一种对某个抽象对象（多项式或者集合幂级数）定义的形式幂级数的计算（集合幂级数的初等函数的结果，也应视为集合幂级数环上定义的幂级数），所以其实这一部分并没有很难以理解。只是需要针对集合幂级数的形式做一些特化就好了。 重点还是要结合一些题目写出集合幂级数的应用，不然单纯引入一堆抽象概念是无意义的。不过好在已经有不少这种题目了。 另外，怀疑 快速 Walsh 变换 内容是不是可以把涉及到 并、或、异或卷积 的部分剥离出来。毕竟还有 子集卷积 没有引入。这些运算在集合幂级数（布尔代数 或者说是 子集结构 上的计数的生成函数）语境下可能更好理解。

这个好像更为直接的解决方法是把该页面改名为 self-adjusting top tree…

> 手模了一下，虚部正好相反。`rev` 错了，DFT 是 e − 2 π i k N ，需要顺时针转；IDFT 需要逆时针转。 谢谢指出。但是感觉更舒服的改法是在 28 行定义 step 的时候给虚部加个负号？+1 IDFT -1 DFT 有点点别扭。 > 另外，不理解为什么“DFT 和 IDFT 变换式中和式前面的归一化系数并不重要。” 它只是说这个系数的选择在不同的情境下可能不同，所以要求没有那么严苛，你可以选择 1 和...

> 已修改 rev，`DFT=1, IDFT=-1;`，还请交叉检查。 没啥问题。谢谢！ > 关于归一化系数，函数里不好加。建议加个说明，IDFT 取出返回值后在函数外面加归一化系数 1 N 。 确实。这个写进函数开头的注释，或者函数附近的正文部分都行。麻烦您顺手加一下？

emmm，寻思就加一句注释，就给你改了。你要是有啥想改的，可以继续改然后重新开个 pr。

> https://oi-wiki.org/intro/htc/#%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E7%9B%AE%E5%BD%95%E5%92%8C%E5%BC%95%E7%94%A8%E7%9A%84%E5%8F%98%E6%9B%B4 > > 请注意更新 author 字段 > > > **[如何参与 - OI Wiki](https://oi-wiki.org/intro/htc/#%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E7%9B%AE%E5%BD%95%E5%92%8C%E5%BC%95%E7%94%A8%E7%9A%84%E5%8F%98%E6%9B%B4)**OI Wiki 是一个编程竞赛知识整合站点，提供有趣又实用的编程竞赛知识以及其他有帮助的内容，帮助广大编程竞赛爱好者更快更深入地学习编程竞赛 已更新，但是 netlify deployment 炸了不知道为什么： 12:04:03 PM: Fetched 5,534 kB in 9s (583 kB/s) 12:04:03...

> 一点建议，可以考虑简单介绍一下 [Commutative diagram](https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_diagram)，然后用它简单说明一下定理的证明思路来加深理解。不必非要用范畴论的语言介绍，直接简化成集合论的就行 🤔 能具体说一下在什么证明里用交换图表吗，还没想好要不要给结论都补上证明。那如果加交换图表之后，还要介绍商环之类的万有性质吗？

> “### 应用：整数剩余系的乘法群 > > 相关阅读：[原根](../number-theory/primitive-root.md) > > 作为中国剩余定理和群论相关内容的一个应用，这里讨论整数模 n 乘法群的结构。本节略去剩余系的横线记号。” > > 这大概不是应用，而是一个完整的节，因为这东西确实非常常用，而数论部分并没有写。去掉“应用”二字，提为“##”二级标题，并在p=2与为奇素数处增设两个“###”三级标题。 > > （北大潘承洞版《初等数论》用了“指标组”概念刻画此类结构，它事实上就是离散对数） 感谢您的关注。别的意见正在逐步修改中，但是对于这一条恕我不能同意。 如果相关内容在数论中有重要的应用，应当放在数论的栏目下开设页面讨论。但是就本次修改而言，这些只是抽象代数理论的应用（或例子）而已。抽象代数的理论不会关心它所能导出的结论在数论中的作用，因此，这一部分在本页面不应该成为独立的小节。 正在考虑在中国剩余定理栏目增设 应用：Lagrange 插值，介绍 Lagrange 插值是如何作为中国剩余定理在多项式环上的简单推论导出的。同样的理由，它不应当成为本页面的独立小节，尽管可能 OI Wiki 现有页面的确没有关于 Lagrange 插值的专门介绍（但是有复杂度更低的快速插值）。 这些例子或是应用的引入，只是为了让读者不会觉得抽象代数的理论过于无用，仅此而已。本页面对于这些内容在其专门领域的作用不甚关心。希望您能理解这一想法。

> > 正在考虑在中国剩余定理栏目增设 应用：Lagrange 插值，介绍 Lagrange 插值是如何作为中国剩余定理在多项式环上的简单推论导出的。同样的理由，它不应当成为本页面的独立小节，尽管可能 OI Wiki 现有页面的确没有关于 Lagrange 插值的专门介绍（但是有复杂度更低的快速插值）。 > > 印象里“Lagrange 插值”这个好像是线性代数部分的，在李尚志版的《线性代数》里面搞了一章装下了Lagrange 插值、中国剩余定理等 我无法认同您的“Lagrange 插值 是线性代数理论的内容”这一说法。提起 Lagrange 插值公式，大家想到的可能更多地还是多项式理论（或者一些分析中的结论）。但是，作为线性代数理论的一个应用，Lagrange 插值公式确实可以从多项式的线性方程组中求解得出（如果这么说，所有反演都是线性代数理论，因为它们都是某个矩阵的逆）。所以，如果您有兴趣在线性代数部分补充它作为应用之一，我也是支持的。 不过，将某项结论分成不同的领域本就是意义不大的。深刻的结果，可能同多个领域的理论都可以建立联系。仅从书写 OI Wiki 的角度出发，如果想专门地添加某个条目（而不是作为副产品），应当将它们放在更符合应用需求、更便于大家查找的位置。这也是为什么本 PR 希望能将 Polya...