Tribu Borel ou Lebesgue

[boisgera]

(voire aussi #6)

Il me semble que l'ordre actuel de présentation de la fonction de répartition (du général au particulier) se heurte à trop de prérequis pour un bénéfice en termes d'applis pas démontrable à ce stade.

Je serai donc favorable au classique -- rapellons-nous comment ça marche dans le cas discret, puis voyons comme ça marche dans le cas continu et finalement évoquons le cas général comme "dénominateur commun" des deux cas, en revoyant sont étude détaillée à l'EC 2.

Le narratif associé coté tribu:

• pour les probas discrètes, le plus petit dénominateur commun raisonnable comme tribu,
  c'est l'ensemble des parties de R (ça ne viendrait pas à l'idée de considérer la tribu de Lebesgue ou de Borel à ce stade). Argument déjà présent dans le narratif actuel.

• de la même façon pour les probas à densité, c'est la tribu de Lebesgue (ça ne viendrait pas à l'idée de considérer autrechose à ce stade ...) qui convient aussi aux probas discrètes,
  et aussi hybrides.

• en général (via Riesz), ça sera la tribu de Borel, mais bon, difficile de faire valoir une valeur ajoutée à ce stade et plein de dépendances techniques ; donc mieux de le traiter en Calcul Int. V (applis théorie mesure).

[tromary]

Ils n'ont pas vu la fonction de répartition en prépa. Ca n'a pas d'intérêt pour les probas discrètes. Comme c'est un nouvel outil, je préfère procéder d'abord en souligner l'importance par les résultat de caractérisation pour ensuite le décliner dans les différents cas. C'est un peu bourbakiste mais on fera avec. Par ailleurs, j'ai enlevé toute référence aux boréliens.

[boisgera]

Ils n'ont pas vu la fonction de répartition en prépa. Ca n'a pas d'intérêt pour les probas discrètes.

Euh, il y a trois pages sur le sujet dans Proba I ou II non ?

Comme c'est un nouvel outil, je préfère procéder d'abord en souligner l'importance par les résultat de caractérisation pour ensuite le décliner dans les différents cas. C'est un peu bourbakiste mais on fera avec.

Tu sais déjà ce que j'en pense ...

Par ailleurs, j'ai enlevé toute référence aux boréliens.

Je viens de rejeter un oeil sur proba II. Pour la notion de variable aléatoire (que est énoncé avec un ens de départ général) du coup on faire référence à l'arrivée aux ensembles mesurables des chapitres précédents (donc implicitement : de la tribu de Lebesgue) non ?

J'ai déjà évoqué ça dans https://github.com/boisgera/CDIS/issues/6, mais je répête : la généralisation (puisque vous avez choisi de généraliser) de la notion de fonction mesurable d'un espace mesurable dans R suppose la tribu de Borel à l'arrivée (à nouveau, ces résultats de calcul intégral II n'utilisent pas ces mots, mais la notion de mesurable introduite c'est Lebesgue au départ et Borel à l'arrivée -- cf "critère de l'image réciproque"). La même issue évoque la composition par des fcts continues qui fait encore une variable aléatoire avec cette convention (résultat que vous énoncez) ; mais si on prend Lebesgue à l'arrivée est-ce que c'est encore vrai ? (je n'en suis pas persuadé mais je n'ai pas creusé ; en tout ça ça n'est plus trivial).

[tromary]

Je voulais dire telles qu'elles sont vue en prépa : la fdr n'a pas de sens si $\Omega$ n'est pas ordonné (problèmes de pile ou face, urnes, ...), et c'est pourquoi, du moins je suppose, elle n'est pas au programme de prépa.

L'idée est d'illustrer la caractérisation dans des cas qu'ils connaissent avant de voir comment ça marche sur $(\R,\mathcal{L}_{\R}$.

Pour proba II tu as raison. J'avais laissé ça de côté. Une solution, un peu acrobatique et forcément insatisfaisante, est d'utiliser la proposition donnée en intro (La famille $\E$ des parties $B$ de $E$ telles que $X^{-1}(B) \in \A$ est une tribu de $E$), pour définir la tribu de travail, que l'on pourrait noter $\mathcal{B}_R$...