Nécessité des tribus

[boisgera]

J'apprécie la remarque expliquant pourquoi les tribus sont nécessaires en proba, en tout cas pourquoi la tribu des parties de l'univers conduirait à une théorie très pauvre (ça tend à montrer que la complexité du cadre mathématique n'est pas contingente ...)

Mais la démarche actuelle n'est pas complétement satisfaisante, où à la fois on cite un théorème externe, et en même temps on énonce dans la remarque une résultat plus précis que le-dit théorème (à savoir: si la tribu est la tribu des parties de R, la probabilité est nécessairement discrète). Qq idées (à creuser):

• existe-t'il une preuve élémentaire de ce fait plus précis ?

• autre piste: montrer que si la probabilté uniforme sur [0, 1] était définie sur la tribu des parties de R, alors tout ensemble de R serait mesurable (une situation pathologique non élucidée, mais évoquée au chap Calc. Int. II ; la "résolution" attendra Calc. Int IV). Bref: c'est le pb du calcul intégral, pas de probas en propre.

• autre ?

[tromary]

J'ai repris cette partie en dissociant la caractérisation des 3 propriétés et en mettant l'équivalence entre F est une fdr et les 3 prop. Je renvoie à plus tard (CI IV ou V, ou jamais) pour les démos. Voir le chapitre 6 de https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjWqY3EivjkAhVCgRoKHeARCYIQFjACegQIABAC&url=http%3A%2F%2Fwww.karlin.mff.cuni.cz%2F~lachout%2FVyuka%2FO-Sem%2FJacodProtter2004.pdf&usg=AOvVaw1vWsuwqCMD7ZzfzUeRHwgr pour les outils nécessaires (en particulier le théorème des classes monotones qui nous sert pour la caractérisation) : on a une proba sur une algèbre, c'est donc une proba (unique) sur la tribu engendrée par cette algèbre. J'ai aussi ajouté un exemple similaire à ce que tu proposes pour illustrer le problème.