大O表示法、时间复杂度、空间复杂度

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先复习下数学知识

大O表示法

大O表示法 让你能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。 一个操作要花费某些单位时间，所以此次运算的操作数越多，时间自然越长了

所以图中的O(log n) 比 O(n) 操作数(纵坐标)的值随着元素的增大而上升得小越来越多，运行时间更少

算法的运行时间用大O表示法表示。

算法时间复杂度定义

T(n)=O(f(n))

T(n): 执行次数 f(n): 问题规模n的某个函数

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

常数阶

int sum = 0,n = 100; /* 执行一次 */

sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */

printf("%d", sum); /* 执行一次 */

这个算法的运行次数函数是f(n)=3。 根据我们推导大O阶的方法， 第 一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。

线性阶

for (let i = 0; i < n; i++)

{ /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */

}

下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码需要执行n次。

对数阶

let count = 1;

while (count < n) {
    count = count * 2;
    /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少 个2相乘后大于n， 则会退出循环。 由2 x =n得到x=log 2 n。 所以这个 循环的时间复杂度为O(logn)。

平方阶

for (let i = 0; i < n; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

这是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n^2 )。

for (let i = 0; i < m; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(m×n)。

所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以 该循环运行的次数。

因此，我们可以总结推到大O阶的规律。

推导大O阶

1．用常数1取代运行时间中的所有加法常数。 2．在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。 3．如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？

for (let i = 0; i < n; i++) {
    /* 注意j = i 而不是0 */
    for (let j = i; j < n; j++) {
       /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

由于当i=0时， 内循环执行了n次， 当i=1时， 执行了n-1次， ……当 i=n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为：

第一条，没有加法常数不予考虑； 第二条， 只保留最高阶项，因此保留n^2/2； 第三条，去除这个项相乘的常数， 也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

最坏情况与平均情况

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。 也就是说，我们运行一段程序代码时，是希望看到平均运行时间的。 可现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。

对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法是计算最坏情况下的时 间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特殊说明的情 况下，都是指最坏时间复杂度。

空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂 度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

通常，我们都使用“时间复杂度”来指运行时间的需求，使用“空间复杂 度”指空间需求

最后

我们一般会选择效率最高的算法，以最大限度地减少运行时间或占用空间。

时间复杂度 => 运行时间 空间复杂度 => 占用空间

Reference

https://medium.com/@yk392/big-o-notation-e35e17febc05 《大话数据结构》