Page 4,5 | Chapter 19 优化入门 极值与最值

[lgr1230]

原文参考

一开始只是找到点 "笔误", 但就此展开调查后, 卡了我一晚上 可以说, 这是一个 术语害人 的典型案例

极值的广义定义

极值（extremum）意指在一个域上函数取得最大值或最小值的点的函数值

广义的"极值",是不同视角(域)下的 广义的"最值"

这个域既可以是一个 邻域 ，又可以是 整个定义域 （这时极值称为最值）

狭义的"极值",也就是我们熟悉的"函数极值", 是 邻域 上的 "广义最值" 狭义的"最值",也就是我们熟悉的"函数最值", 是 整个定义域 上的"广义最值"

综上,

最值是极值?

书中此句:

如果某个极值是整个指定搜索区域内的极大值或极小值，这个极值又被称作是最大值 (maximum 或 global maximum) 或者最小值 (minimum 或 global minimum)。最大值和最小值统称最值 (global extrema)。

在初看时应该是十分炸裂的(小标题吐槽), 但在上述区分后,应当无碍了

极值是最值?

此处书中有"描述不统一"的笔法错误,不予引用

局部最大值（最小值）也被称为极值

于是, 有人有了这种 : "函数极值是一定范围内（给定区间）内取得的最大值或最小值" 的想法 这种想法的根源来自对"局部"一词主观臆断的生活化理解

在只对比"函数极值"和"函数最值"二者的情况下,确实可以用模糊定性的"局部"和"全局"来区分,但也仅限二者之间 在此语境下, "局部"一词, 严格对应"邻域"; "全局"一词, 严格对应"整个定义域"

PS1: 如果你对语境不太敏感,还请慎用简称 但如果你有明辨的能力,不必多此一举

知 "导"数 ,而不知 导"函数",这种人也不是没有啊(感慨)

PS2: 极值不一定是最值,最值也不一定是极值 区间内的最值是极值，边界点的最值一定不是极值。

PS3: 去心邻域 和 邻域 的区别,只是 得到最值时,是否考虑等号罢了

PS4: 原本还想谈点 "极值与驻点",但如果看懂了上面那些,似乎也就无需多言了

主要参考:极值-维基百科

[Visualize-ML]

这几个词确实让我头疼，各家解释都不一样，特别引入“约束条件”之后。

下面这个解释，你觉得合理吗？

极值指的是函数在某一点附近的最值，可以是最大值或者最小值。极值包括极大值和极小值。

极小值指的是函数在某一点附近的最小值，是一种极值。如果一个函数在某一点的左侧函数值比该点右侧函数值小，则该点是该函数的极小值。

极大值指的是函数在某一点附近的最大值，也是一种极值。如果一个函数在某一点的左侧函数值比该点右侧函数值大，则该点是该函数的极大值。

最值指的是函数在整个定义域上的最大值和最小值。最大值是定义域上函数值最大的点，最小值是定义域上函数值最小的点。

最大值和最小值都是极值的一种特殊情况，最大值是函数的极大值且是定义域上的最大值，最小值是函数的极小值且是定义域上的最小值。

On Mon, May 1, 2023 at 2:59 PM 封与疯 @.***> wrote:

原文参考

[image: image] https://user-images.githubusercontent.com/69034009/235497452-1d01752d-9a55-4b9c-9c97-264955046c33.png [image: image] https://user-images.githubusercontent.com/69034009/235479815-1ae8561a-5dd7-437a-aaee-09f08ebe216c.png [image: image] https://user-images.githubusercontent.com/69034009/235479961-41b033c7-acbd-4f4a-a1a4-862e884183d1.png

一开始只是找到点 "笔误", 但就此展开调查后, 卡了我一晚上 可以说, 这是一个 术语害人 的典型案例 极值的广义定义

[image: image] https://user-images.githubusercontent.com/69034009/235490960-a36e0bd2-f6ad-4c49-98e0-a26097807970.png

极值（extremum）意指在一个域上函数取得最大值或最小值的点的函数值

广义的"极值",是不同视角(域)下的 广义的"最值"

这个域既可以是一个邻域，又可以是整个定义域（这时极值称为最值）

狭义的"极值",也就是我们熟悉的"函数极值", 是 邻域 上的 "广义最值" 狭义的"最值",也就是我们熟悉的"函数最值", 是 整个定义域 上的"广义最值"

综上, [image: image] https://user-images.githubusercontent.com/69034009/235502043-1cb691bd-5215-49cb-915a-49ac3c50d17f.png 最值是极值?

书中此句:

如果某个极值是整个指定搜索区域内的极大值或极小值，这个极值又被称作是最大值 (maximum 或 global maximum) 或者最小值 (minimum 或 global minimum)。最大值和最小值统称最值 (global extrema)。

在初看时应该是十分炸裂的(小标题吐槽), 但在上述区分后,应当无碍了 极值是最值?

此处书中有笔法错误,不予引用 [image: image] https://user-images.githubusercontent.com/69034009/235491705-c075fbf6-4a4d-47f1-9c29-c4d1cc7c2737.png

局部最大值（最小值）也被称为极值

于是, 有人有了这种 : "函数极值是一定范围内（给定区间）内取得的最大值或最小值" 的想法 这种想法的根源来自对"局部"一词主观臆断的生活化理解

在只对比"函数极值"和"函数最值"二者的情况下,确实可以用模糊定性的"局部"和"全局"来区分,但也仅限二者之间 在此语境下, "局部"一词, 严格对应"邻域"; "全局"一词, 严格对应"整个定义域"

PS1: 如果你对语境不太敏感,还请慎用简称 但如果你有明辨的能力,不必多此一举

知 "导"数 ,而不知 导"函数",这种人也不是没有啊(感慨)

PS2: 极值不一定是最值,最值也不一定是极值 区间内的最值是极值，边界点的最值一定不是极值。

PS3: 去心邻域 和 邻域 的区别,只是 得到最值时,是否考虑等号罢了

PS4: 原本还想谈点 "极值与驻点",但如果看懂了上面那些,似乎也就无需多言了

主要参考:极值-维基百科 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9E%81%E5%80%BC

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[lgr1230]

如果一个函数在某一点的左侧函数值比该点右侧函数值小，则该点是该函数的极小值。 如果一个函数在某一点的左侧函数值比该点右侧函数值大，则该点是该函数的极大值。

大概率你想表达的意思应该是,: 如果一个函数在某一点的 左侧 的一阶导数值 小于/大于 右侧 的一阶导数值 ,则该点是该函数的 极小值/极大值

但是

1. 为了精确的"左侧"和"右侧", 你需要对其定义(就像左极限和右极限的定义一样)
2. 纵然你定义了"左"与"右", 一阶导数这关你是过不去的 (1) 狄利克雷函数 : 处处无极限, 不连续, 不可导,不可积 (2) 魏尔施特拉斯函数: 处处连续, 但处处不可导 显然,上面两个 病态函数 显然存在极值

函数极值的定义,应该只与 (去心)邻域 和 最值 有关

[Visualize-ML]

的确，极值绕不开去心邻域。想要通俗讲解有难度

On Tue, May 2, 2023 at 11:33 AM 封与疯 @.***> wrote:

如果一个函数在某一点的左侧函数值比该点右侧函数值小，则该点是该函数的极小值。 如果一个函数在某一点的左侧函数值比该点右侧函数值大，则该点是该函数的极大值。

大概率你想表达的意思应该是,: 如果一个函数在某一点的 左侧 的一阶导数值 小于/大于 右侧 的一阶导数值 ,则该点是该函数的 极小值/极大值 但是

1. 为了精确的"左侧"和"右侧", 你需要对其定义(就像左极限和右极限的定义一样)
2. 纵然你定义了"左"与"右", 一阶导数这关你是过不去的 (1) 狄利克雷函数 : 处处无极限, 不连续, 不可导,不可积 [image: image] https://user-images.githubusercontent.com/69034009/235713158-e638c5e7-8428-42be-9f1e-95b11d5db304.png (2) 魏尔施特拉斯函数: 处处连续, 但处处不可导 [image: image] https://user-images.githubusercontent.com/69034009/235713331-e10ee52b-416b-4918-b473-b384ded7e537.png 显然,上面两个 病态函数 显然存在极值

函数极值的定义,应该只与 (去心)邻域 和 最值 有关

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这个issue先开着